Question

已知∠AOD=α，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，当α=160°，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的大小；
（2）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠BOC=20°，∠MON=60°，求α．
（3）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠BOC，∠MON和α三者关系．

Answer 1

考点：角的计算,角平分线的定义

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义求出∠BOM和∠BON，然后根据∠MON=∠BOM+∠BON代入数据进行计算即可得解；
（2）设∠AOB=x，表示出∠BOD=α-x，根据角平分线的定义表示出∠COM和∠BON，然后根据∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC列式计算即可得解；
（3）与（2）的解法相同．

解答：解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=

1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOD，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=

1

2

（∠AOB+∠BOD），
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°，
∴∠MON=

1

2

×160°=80°；

（2）设∠AOB=x，则∠BOD=α-x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM=

1

2

∠AOC=

1

2

（x+20°），∠BON=

1

2

∠BOD=

1

2

（α-x），
∴∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC=

1

2

（x+20°）+

1

2

（α-x）-20°=

1

2

α-10°，
∵∠MON=60°，
∴

1

2

α-10°=60°，
解得α=140°；

（3）同（2）可得：设∠AOB=x，则∠BOD=∠AOD-x
则∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC=

1

2

（x+20°）+

1

2

（α-x）-∠BOC°=

1

2

（∠AOD-∠BOC）．

点评：本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．