Question

11．如图1，抛物线y=-x²+2mx+3m²（m＞0）与y轴相交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，过点B作BC⊥x轴于点C，抛物线的顶点为D．
（1）若抛物线经过点（4，12），求m的值和点D的坐标；
（2）连结AC，是否存在一个内角为30°的△ABC，若存在，求出符合条件的额m值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（1）的条件下，连结CD交AB于点E，连结AD并延长交CB的延长线于点F，连结BD，设△ADE的面积为S₁，△BCE的面积为S₂，△BDF的面积为S₃，则S₁：S₂：S₃=3：3：4．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）把（4，12）代入y=-x²+2mx+3m²即可得到结论；
（2）根据函数的解析式y=-x²+2mx+3m²，得到A（0，3m²，），B（2m，3m²），根据平行线的性质得到∠ABC=90°，①当∠ACB=30°时，②当∠CAB=30°时，根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）根据函数解析式y=-x²+4x+12，得到A（0，12，），B（4，12），根据BC⊥x轴于点C，得到C（4，0），求得直线CD的解析式为：y=-6x+24，直线AD的解析式为：y=2x+12，根据函数解析式得到E，F的坐标，得到AE，BE，BF的长度，然后根据三角形的面积公式即可得到结论，

解答 解：（1）把（4，12）代入y=-x²+2mx+3m²得m=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x+12，
∵y=-x²+4x+12=-（x-2）²-16，
∴点D的坐标（2，16）；
（2）当x=0时，y=-x²+2mx+3m²，
∴A（0，3m²，），
∵AB∥x轴，
∴B（2m，3m²），
∵BC⊥x轴于点C，
∴∠ABC=90°，
①当∠ACB=30°时，$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2m}{3{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
②当∠CAB=30°时，$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2m}{3{m}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$；
（3）当x=0时，y=-x²+4x+12=12，
∴A（0，12，），
∵AB∥x轴，
∴B（4，12），
∵BC⊥x轴于点C，
∴C（4，0），
∵点D的坐标（2，16）；
∴直线CD的解析式为：y=-6x+24，
∵点E在AB上，
∴E（3，12），
∴AE=3，BE=1，
∵A（0，12），D（2，16），
∴直线AD的解析式为：y=2x+12，
∵F在直线BC上，
∴F（4，20），
∴BF=8，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×3×4=6，S₂=$\frac{1}{2}×$12×1=6，S₃=$\frac{1}{2}×$8×2=8，
∴S₁：S₂：S₃=3：3：4，
故答案为：3：3：4．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．