Question

20．如图，三个全等的等腰三角形按如图的形式（B、C、E、G在同一直线上）摆放，连接BF，已知腰长AB=$\sqrt{3}$，底边BC=1．
（1）△ABC与△BFG是否相似？试说明理由！
（2）请提出一个与P点有关的问题，并进行解答！

Answer 1

分析 （1）由条件可求得BG和FG的长，由等腰三角形的性质可求得∠ACB=∠FGC，可证得结论；
（2）如果问题较为浅显，可以提问求证：∠PCB=∠REC，这个问题只需要运用两直线平行，同位角相等进行解答．此题为发散性题型，不唯一．

解答 解：
（1）相似，理由如下：
∵△ABC≌△DCE≌△FEG
∴BC=CE=EG=1，
∴BG=2BC=3，FG=AB=$\sqrt{3}$
∴$\frac{BC}{FG}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{AC}{FG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{BC}{FG}$=$\frac{AC}{FG}$，
又∠ACB=∠FGB，
∴△ABC∽△BFG；
（2）A层问题（较浅显的，仅用到了1个知识点）．
例如：①求证：∠PCB=∠REB．（或问∠PCB与∠REB是否相等）等；
②求证：PC∥RE，（或问线段PC与RE是否平行）等．
B层问题（有一定思考的，用到了2～3个知识点）．
例如：①求证：∠BPC=∠BFG等，求证：BP=PR等；
②求证：△ABP∽△CQP等，求证：△BPC∽△BRE等；
③求证：△ABP∽△DQR等；④求BP：PF的值等．
A层解答举例：求证：PC∥RE
证明：△ABC≌△DCE
∴∠PCB=∠REB
∴PC∥RE
B层解答举例：求证：BP=PR
证明：∠ACB=∠REB，
∴AC∥DE．
又BC=CE，∴BP=PR．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等的三角形相似，②三边对应成比例的两个三角形相似，③两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．