Question

17．【探究】
已知，点E，F，G，H分别在四边形ABCD的四条边上，且EF⊥GH．
（1）如图1，若四边形ABCD为正方形，EF=a，则GH=a；
（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，求$\frac{EF}{GH}$的值．
【拓展】
如图3，四边形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且AE⊥BF，若∠BCD=90°，AB=BC=20，AD=CD=10，求$\frac{AE}{BF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠EFN=∠GHM，进而得出△MGH≌△NEF，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出∠MGH=∠NEF，从而得出△FEN∽△HGM，即可得出结论；
（3）先判断出△ABD≌△CBD，再用勾股定理即可求出BG，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点G作GM⊥CD于M，过点E作EN⊥BC于点N，
∴∠GMH=∠ENF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∴GM=EN，
∵EF⊥GH，∠B=90°，
∴∠BGH+∠BFE=180°，
∵∠BGM=90°，
∴∠MGH+∠EFN=90°，
∵EF⊥GH，∠C=90°，
∴∠EFN=∠GHM，
∴∠MGH=∠NEF，
在△MGH和△NEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MGE=∠NEF}\\{GM=EN}\\{∠GMH=∠ENF}\end{array}\right.$，
∴△MGH≌△NEF，
∴GH=EF=a，
故答案为a；

（2）如图2，过点G作GM⊥CD于M，过点E作EN⊥BC于点N，
∴E
N=AB，GM=BC，
同（1）的得，∠MGH=∠NEF，
∵∠GMH=∠ENF，
∴△FEN∽△HGM，
∴$\frac{EF}{GH}=\frac{EN}{GM}$，
∴$\frac{EF}{GH}=\frac{AB}{BC}=\frac{a}{b}$；

（3）如图3，过点A作GH∥BC，过点B作BG⊥GH于点G，延长CD交GH于点H，连接BD，
∴四边形BCHG是矩形，
在△ABD和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{AD=CD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠BAD=∠C=90°，
∴△ADH∽△BAG，
∴$\frac{DH}{AG}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
设DH=x，
∴AG=2x，BG=x+10，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，（2x）²+（x+10）²=400，
∴x=-10（舍）或x=6，
由（2）知，$\frac{AE}{BF}=\frac{BG}{BC}=\frac{4}{5}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解（1）的关键是构造全等三角形，解（2）的关键是判断出△FEN∽△HGM，解（3）的关键是求出BG是一道很好的中考常考题．