Question

4．阅读：△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：
①正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$
②余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC．
③S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin C=$\frac{1}{2}$bcsin A=$\frac{1}{2}$acsin B
请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2asin B=$\sqrt{3}$b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：asinB=bsinA，代入2asinB=$\sqrt{3}$b，可得sinA的值，即可求出角A的大小；
（2）由余弦定理得可得bc的值，再运用S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵2asinB=$\sqrt{3}$b，利用正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：asinB=bsinA，
∴2bsinA=$\sqrt{3}$b，
∵sinB≠0，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵A为锐角，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cosA，即36=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=64-3bc，
∴bc=$\frac{28}{3}$，
又∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理与余弦定理，解题的关键是灵活运用正弦定理与余弦定理．