Question

如图，点E是?ABCD边AD上一点，且AE=

1

2

ED，BA、CE的延长线交于点F，BE与AC相交于点O，证明：
（1）AB=2AF；
（2）S_△CED=8S_△AOE；
（3）3S_△CED=4S_△AFC．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：证明题

分析：（1）利用平行线分线段成比例定理得出

AF

BF

=

AE

BC

=

1

3

，进而得出答案；
（2）利用三角形面积关系以及相似三角形的性质得出即可；
（3）利用同一未知数表示出各三角形面积进而得出答案．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AE=

1

2

ED，
∴AE=

1

3

BC，
∴

AF

BF

=

AE

BC

=

1

3

，
∴

AF

AB

=

1

2

，
∴AB=2AF；

（2）∵AE=

1

2

ED，
∴S_△AEC：S_△CDE=1：2，
∵AE∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∵

AE

BC

=

AO

CO

=

1

3

，
∴

S△AOE

S△EOC

=

1

3

，
∴

S△AOE

S△AEC

=

1

4

，
∴S_△CED=8S_△AOE；

（3）∵由（1）得

AF

AB

=

1

2

，
∴

S△FAE

S△AEC

=

1

2

，
设S_△FAE=x，则S_△AEC=2x，
∵AE=

1

2

ED，
∴S_△AEC=

1

2

S_△CDE，
∴S_△CDE=4x，
∴3S_△CED=4S_△AFC．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练利用三角形边的关系得出面积关系是解题关键．