Question

12．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 设每层楼高为x米，由MC-CC′求出MC′的长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中，利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′，由C′B′-C′A′求出AB 的长即可．

解答 解：设每层楼高为x米，
由题意得：MC′=MC-CC′=2.5-1.5=1米，
∴DC′=5x+1，EC′=4x+1，
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′=60°，
∴C′A′=$\frac{DC′}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（5x+1），
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30°，
∴C′B′=$\frac{EC′}{tan30°}$=$\sqrt{3}$（4x+1），
∵A′B′=C′B′-C′A′=AB，
∴$\sqrt{3}$（4x+1）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（5x+1）=14，
解得：x≈3.17，
则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4米．

点评 此题属于解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．