Question

18．已知二次函数y=-x²+2mx-2m²-3（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；
（2）如果把该函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，试求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出根的判别式，即可得出答案；
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．

解答 解：（1）令y=0，-x²+2mx-2m²-3=0，
则a=-1，b=2m，c=-2m²-3．
∴b²-4ac=（2m）²-4（-1）（-2m²-3）=-4m²-12，
∵-4m²≤0，
∴-4m²-12＜0，即b²-4ac＜0，
∴一元二次方程-x²+2mx-2m²-3=0没有实数根，
∴不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；

（2）将二次函数y=-x²+2mx-2m²-3配方得：
y=-（x-m）²-m²-3
∴该二次函数图象的顶点坐标为（ m，-m²-3），
∵将函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，
∴-m²-3+4=0，
解得m=±1．

点评 本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．