Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=4，BC=3，点D与点A关于y轴对称，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质和勾股定理就可以求出AC的值，由轴对称的性质就可以求出AO=DO从而可以求出D的坐标；
（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可．如图①，在△AEF与△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：
①当CE=EF时，此时△AEF与△DCE相似比为1，则有AE=CD；
②当EF=FC时，此时过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，根据三角函数值可以求出CE与EF的关系，再△AEF∽△DCE的性质就可以求出结论；
③当CE=CF时，F点与A点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在．

解答：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴AO=BC，AB=OC，∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，由勾股定理，得
AC=5．
∴AO=3．
∵点D与点A关于y轴对称，
∴AO=DO．
∴DO=3，
∴D（3，0）；

（2）点D与点A关于y轴对称，
∴∠CDE=∠CAO，
∴AC=CD=5．
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
∵∠AFE=∠ACE+∠CEF，∠DEC=∠ACE+∠CAO（三角形外角性质）
∴∠AFE=∠DEC．
∵在△AEF与△DCE中，

∠CDE=∠CAO ∠AFE=∠DEC

，
∴△AEF∽△DCE（AA）．

（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=5，
∴OE=AE-OA=5-3=2，
∴E（2，0）；
②当EF=FC时，如图②所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=2×

3

5

EF=

6

5

EF．
∵△AEF∽△DCE，
∴

EF

CE

=

AE

CD

，
∴

EF

6 5 EF

=

AE

5

，
解得AE=

25

6

，
∴OE=AE-OA=

25

6

-3=

7

6

，
∴E（

7

6

，0）；
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾．
综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（，2，0）或（

7

6

，0）．

点评：本题综合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面几何图形在坐标平面内的性质与变换，相似三角形的判定与性质应用是其核心．难点在于第（3）问，当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解．