Question

如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=3，以D为圆心，CD为半径作⊙D，直线BE切⊙D于点E，BE交AD于点G，则AG=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,矩形的性质

专题：计算题

分析：先根据矩形的性质得CD=AB=1，AD=BCV=3，再根据切线的性质得DE⊥BE，DE=DC=1，则DE=AB，于是可证明△DEG≌△BAG，得到DG=BG，设AG=x，则DG=BG=3-x，然后在Rt△ABG中利用勾股定理得1²+x²=（3-x）²，再解方程求出x即可．

解答：解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=1，AD=BCV=3，
∵直线BE切⊙D于点E，
∴DE⊥BE，
∴∠DEG=90°，DE=DC=1，
∴DE=AB，
在△DEG和△BAG中，

∠DEG=∠A ∠DGE=∠BGA DE=BA

，
∴△DEG≌△BAG（AAS），
∴DG=BG，
设AG=x，则DG=AD-AG=3-x，BG=3-x，
在Rt△ABG中，∵AB²+AG²=BG²，
∴1²+x²=（3-x）²，解得x=

4

3

，
即AG=

4

3

．
故答案为

4

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．