Question

18．如图，在矩形ABCD中，F是BC边的中点，DF⊥AC，垂足为点E，连接BE，分析下列四个结论：①△CEF∽△CBA；②BE=AB；③AE=2CE；④tan∠ACB=$\sqrt{2}$，其中正确的个数有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，DE⊥AC于点E，于是得到△CEF∽△CBA，故①正确；连接AF，推出A、B、F、E四点共圆，得到∠AEB=∠AFB，根据全等三角形的性质得到∠AFB=∠CFD，得到∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的判定得到BA=BE，故②正确．根据相似三角形的性质得到AE=2CE，故③正确，设CE=a，AE=2a，由DE²=AE•CE=2a²，得D=$\sqrt{2}$a，根据三角函数的定义即可得到tan∠ACB=tan∠EAD=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④错误．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，DE⊥AC于点E，
∵∠ACB=∠ECF，∠ADC=∠CEF=90°，
∴△CEF∽△CBA，故①正确；
连接AF，∵∠ABF+∠AEF=90°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠AEB=∠AFB，
∵F是BC边的中点，
∴BF=CF，
在△ABF与△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABF=∠DCF}\\{BF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDF，
∴∠AFB=∠CFD，
∵∠BAE+∠BFE=180°，∠BFE+∠CFD=180°，
∴∠BAE=∠CFD，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，故②正确．
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADE，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{CE}{AE}$，
∵CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AD}{CF}$=2，
∴AE=2CE，故③正确，
设CE=a，AE=2a，由DE²=AE•CE=2a²，得DE=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠ACB=tan∠EAD=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④错误．
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，正确的作出辅助线是解题的关键，学会利用此时解决问题，属于中考常考题型．