题目内容
9．
在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，$2\sqrt{3}$）．（1）求圆心C的坐标．
（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$的图象上，求抛物线的解析式．
（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．
（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．
分析 （1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；
（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为 $\sqrt{3}$，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；
（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以-1＜x0＜0，或2＜x0＜3．
解答 解：（1）∵⊙C经过原点O
∴AB为⊙C的直径
∴C为AB的中点
过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，OH=$\frac{1}{2}$OA=1
∴圆心C的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．
（2）∵抛物线过O、A两点，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∵抛物线的顶点在直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，
∴顶点坐标为（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得 $\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{a+b+c=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=O}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．
（3）∵OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，即⊙C的半径r=2，
∴D（3，$\sqrt{3}$），E（-1，$\sqrt{3}$），
代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x检验，知点D、E均在抛物线上．
（4）∵AB为直径，
∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，
∴-1＜x0＜0，或2＜x0＜3．
点评 此题考查了圆与二次函数的综合知识，考查了待定系数法，考查了圆的性质，考查了二次函数的对称性等，解题的关键是数形结合思想的应用，综合性比较强，属于中考压轴题．．
| 摄氏温度x（℃） | … | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | … |
| 华氏温度y（℉） | … | 32 | 41 | 50 | 59 | 68 | 77 | … |
（1）求该一次函数的表达式；
（2）当华氏温度-4℉时，求其所对应的摄氏温度．
| A． | 调查高邮市民的吸烟情况 | |
| B． | 调查高邮市民的幸福指数 | |
| C． | 调查高邮市民家族日常生活支出情况 | |
| D． | 调查高邮市某校班级学生对“文明城市”的知晓率 |