Question

如图，一次函数y=kx+3的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，与反比例函数y=

m

x

的图象在第四象限相交于点P，并且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，已知B（0，-6）且S_△DBP=27．
（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设点Q是一次函数y=kx+3图象上的一点，且满足△DOQ的面积是△COD面积的2倍，直接写出点Q的坐标；
（3）若反比例函数y=

n

x

的图象与△ABP总有公共点，直接写出n的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据三角形面积求出BP，得出P的坐标，代入函数的解析式求出即可；
（2）根据面积求出QM，即可得出Q的横坐标，代入求出Q的纵坐标即可；
（3）根据P、A、B的坐标即可得出答案．

解答：解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象交y轴于点D，
∴OD=3，
∵B（0，-6），
∴BD=3+6=9，
∵S_△DBP=27，
∴由三角形面积公式得：BP=6，
∴P点的坐标是（6，-6），
把P的坐标代入y=kx+3得：k=-

3

2

，
即一次函数的解析式是y=-

3

2

x+3，
把P的坐标代入y=

m

x

得：m=-36，
即反比例函数的解析式是y=-

36

x

；

（2）∵一次函数y=-

3

2

x+3的图象交x轴于点C，
∴把y=0代入求出x=2，
即C的坐标是（2，0），OC=2，
分为两种情况：当Q在射线DC上时，过Q作QM⊥y轴于M，
∵△DOQ的面积是△COD面积的2倍，
∴根据等高的三角形的面积比等于对应的边之比得：DQ=2DC，
∵△DOC∽△DMQ，
∴

DC

DQ

=

OC

QM

=

1

2

，
∴MQ=2OC=4，
把x=4代入y=-

3

2

x+3得：y=-3，
即此时Q的坐标是（4，-3）；
当Q在射线CD上时，同法求出QM=4，
把x=-4代入y=-

3

2

x+3得：y=-3，
即此时Q的坐标是（-4，9）；
即Q的坐标是（-4，9）或（4，-3）；

（3）∵A（6，0），B（0，-6），P（6，-6），反比例函数y=

n

x

的图象与△ABP总有公共点，
∴当反比例函数图象过P点时，求出n=-36，
∴n的取值范围是-36≤n＜0．

点评：本题考查了三角形的面积，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求出函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较典型，难度适中．