Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（-9，0）在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在线段OA上，AC：CO=1：2，△ABC的面积为12，动点P从C出发，沿线段CB以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从A出发沿线段AO以每秒2个单位的速度向终点O运动，Q点到达终点O，P点继续运动至终点B停止运动，
（1）求直线BC的解析式；
（2）设动点P的运动时间为t秒，△PAQ的面积为S，求S与t之间的函数关系，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下以Q点为圆心，以t个单位为半径作⊙Q，求t为何值时，点P在⊙Q上．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据A点坐标和已知条件可得C点坐标，根据三角形面积公式可得B点坐标，再根据待定系数法可得直线BC的解析式；
（2）过P作PH⊥OC于H．根据三角函数得到PH=

4

5

t，根据勾股定理得到BC，再分两种情况：0＜t≤

9

2

；

9

2

＜t≤10；讨论可求S与t之间的函数关系；
（3）分三种情况：①Q与C重合；②Q在OC上；③Q在O点，P点继续运动；讨论可求点P在⊙Q上时t的值．

解答：解：（1）∵A（-9，0），
∴OA=9，
∵AC：CO=1：2，
∴AC=3，OC=6，
∴C（-6，0），
∵ABC的面积=

1

2

AC•DB=12，
∴OB=8，
∴B（0，8），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则

b=8 -6k+8=0

，
解得

k= 4 3 b=8

．
故直线BC的解析式为y=

4

3

x+8；
（2）过P作PH⊥OC于H．
PH=CP•sin∠BCO=

4

5

t，
在Rt△OBC中，BC=

62+82

=10，
则S=

4 5 t2(0＜t≤ 9 2 ) 18 5 t( 9 2 ＜t≤10)

；
（3）∵P在⊙O上，
∴OP=t，
分三种情况：
①Q与C重合，
2t=3，
解得t=

3

2

；
②Q在OC上，
∵CP=PQ=t，
∴CH=QH=

3

5

t，

6

5

t+3=2t，
解得t=

15

4

；
③Q在O点，P点继续运动，

6

5

t+3=9，
解得t=5．

点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：三角形面积，待定系数法求直线的解析式，三角函数，勾股定理，分类思想的应用，综合性较强，难度较大．