Question

【题目】如图，已知是的直径，切于点，过作直线交于另一点，连接、．

（1）求证：平分；

（2）若是直径上方半圆弧上一动点，的半径为2，则

①当弦的长是 时，以，，，为顶点的四边形是正方形；

②当的长度是 时，以，，，为顶点的四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②或．

【解析】

（1）首先根据切线的性质得出，进而判定，利用平行的性质进行等角转换，即可得出平分；

（2）①根据题意由圆的性质和正方形的性质，求解即可；

②当，，，为顶点的四边形是菱形时，分两种情况求解：当时和当时，根据弧长公式求解即可.

（1）∵切于点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴平分；

（2）①当，四边形为矩形，而，此时矩形为正方形，；

②当时，四边形为菱形，和为等边三角形，则，的长度．

当时，四边形为菱形，和为等边三角形，则，的长度．

故答案为，或．