Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线的对称轴与x轴交于点P，OM＝1，ON＝5．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点A是y轴正半轴上一动点，点B是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB、AM、BM，且AB⊥AM．

①AO为何值时，△ABM∽△OMN，请说明理由；

②若Rt△ABM中有一边的长等于MP时，请直接写出点A的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）①AO为10时，△ABM∽△OMN；②A的坐标为（0，）或（0， ）或（0， ）．

【解析】

（1）将M、N的坐标代入列方程组求出a，c的值即可；

（2）①设A（0，m），用m的代数式分别表示AB、AM，然后△ABM∽△OMN列出等式求出m的值；

②分3种情况讨论Ⅰ．当AB＝MP＝3时，Ⅱ．当AM＝MP＝3时，Ⅲ．当BM＝MP＝3时，分别求出m的值．

解：（1）∵OM＝1，ON＝5，

∴M（﹣1，0），N（0，5），

将M（﹣1，0），N（0，5）代入y＝ax2+4x+c，

a＝﹣1，c＝5，

抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；

（2）①AO为10时，△ABM∽△OMN．理由如下：

设A（0，m），则OA＝m，，

∵kAM＝m，AB⊥AM，

∴kAB＝﹣，

∴直线AB表达式：,

∵抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴：直线x＝2，

∵△ABM∽△OMN，

∴

化简，得 m4﹣99m2﹣100＝0，

（m2﹣100）（m2+1）＝0，

∵m2+1≠0，

∴m2﹣100＝0，

∴m＝10或﹣10（舍去）

AO＝10，即AO为10时，△ABM∽△OMN．

②A的坐标为

∵M（﹣1，0），P（2，0），

∴MP＝2﹣（﹣1）＝3

Ⅰ．当AB＝MP＝3时，

解得

Ⅱ．当AM＝MP＝3时，

解得

Ⅲ．当BM＝MP＝3时，

m＝或﹣（舍去），

故求得符合条件的A的坐标为