Question

9．如图，已知AB是半圆O直径，C为半圆上一点，CD切半圆于C，AD⊥CD于D，以C为圆心，CD为半径为⊙C，求证：AB是⊙C的切线．

Answer 1

分析 作CE⊥AB，连接AC、OC，由CD切半圆于C知OC⊥CD，结合AD⊥CD知AD∥OC，从而证得∠DAC=∠EAC，再证△DAC≌△EAC得CE=CD，即CE为⊙C的半径，即可得证．

解答 证明：如图，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC、OC，

∵CD切半圆于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠OCA=∠DAC，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=∠CDA=90°，
在△DAC和△EAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠CEA}\\{∠CAD=∠CAE}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△EAC，
∴CE=CD，即CE为⊙C的半径，
∴AB是⊙C的切线．

点评 本题主要考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，作垂直证半径是解题的关键．