Question

3．如图，△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，与AE交于点G．
求证：GE=EC．

Answer 1

分析 根据线段的垂直平分线的性质定理得出BD=DF，根据等边对等角得出∠BAD=∠B=22.5°，得出∠ADC=45°，从而得出△ADE是等腰直角三角形，得出ED=AE，然后根据ASA求得△GED≌△AEC，即可证得GE=EC．

解答 证明：连接AD，∵DM垂直平分AB，
∴AD=BD，

∴∠BAD=∠B=22.5°，
∴∠ADE=45°，
∵AE⊥BC，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴ED=AE，
∵DF⊥BC，AE⊥CB，
∴∠GDE=∠BEAC，
在△ADE和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠EAC}\\{DE=AE}\\{∠AED=∠AEC=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AEC（ASA），
∴EG=CE．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．