题目内容

如图1，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图2），将△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A，D₁，D₂，B始终在同一直线上），当点D₁与点B重合时停止平移，在平移的过程中，C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、C₂B分别交于点F、P．
（1）当△AC₁D₁平移到如图3所示位置时，猜想D₁E与D₂F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁和△BC₂D₂重叠（阴影）部分面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

解：（1）D₁E=D₂F，
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，
∴∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F；
同理：BD₁=D₁E．
又∵AD₁=BD₂，
∴AD₂=BD₁．
∴D₁E=D₂F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10，
即AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5；
又∵D₂D₁=x，
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，
∴C₂F=C₁E=x，
∵在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距离就是△ABC的AB边上的高为 $\text{[math]}$ ，△BC₂D₂的面积= $\text{[math]}$ 5× $\text{[math]}$ =12，
∴设△BED₁的BD₁边上的高为h，
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴△BC₂D₂∽△BED₁，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴h= $\text{[math]}$ ，
∴△BED₁的面积= $\text{[math]}$ BD₁×h= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （5-x）²，
又∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90°；
又∵∠C₂=∠B，
∴△C₂FP∽△EC₁P，
∴C₂F：EC₁=PF：C₁P，
∴PC₂= $\text{[math]}$ x，PF= $\text{[math]}$ x；
∴△C₂FP的面积= $\text{[math]}$ x²，
故y=△BC₂D₂的面积-△BED₁的面积-△C₂FP的面积=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x．（0≤x≤5）
分析：（1）根据题意，易得∠C₁=∠AFD₂；进而可得C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，又因为AD₁=BD₂，可得答案；
（2）因为在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，所以由勾股定理，得AB=10；又因为C₂D₁=x，所以D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，由图形可得阴影部分面积的组成，分别用x表示出其面积可得答案．
点评：本题结合图形的平移考查相似三角形的有关知识，平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且相等的性质．