Question

12．如图，正方形ABCD中A（-1，1），B（-3，1），D（-1，3）．反比例函数y=$\frac{k}{x}（x＜0）$的图象经过对角线BD的中点M，与BC、CD的边分别交于点P、Q．
（1）填空：点M的坐标是（-2，2），点C的坐标是（-3，3）．
（2）求直线BD的解析式；
（3）线段PQ与直线BD是平行吗？如平行，请写出证明过程；如不平行，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）M是BD的中点，则M的横纵坐标就是B和D横纵坐标的平均数，根据BC∥y轴，CD∥x轴即可求得C的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得BD的解析式；
（3）求得反比例函数的解析式，则Q和P的坐标即可求得，然后证明△CPQ∽△ABD，即可证得．

解答 解：（1）M的横坐标是：$\frac{1}{2}$（-3-1）=-2，纵坐标是$\frac{1}{2}$（1+3）=2，则M的坐标是（-2，2）．
C的坐标是（-3，3）．
故答案是：（-2，2），（-3，3）．

（2）设直线BD的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{-k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
则直线BD的解析式是：y=x+4；

（3）把（-2，2）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=-4，则函数的解析式是：y=-$\frac{4}{x}$．
令x=-3，得y=$\frac{4}{3}$，则P的坐标是（-3，$\frac{4}{3}$），
令y=3，则x=-$\frac{4}{3}$．
∴CQ=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，CP=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴CP=CQ．
又因为CD=CB，
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CD}$，
又∵∠C=∠C，
∴△CPQ∽△CBD，
∴∠CPQ=∠CBD，
∴PQ∥BD．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，以及相似三角形的判定与性质，理解PQ∥BD的条件是关键．