Question

4．已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$．
（1）求证：DE∥BC．
（2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CD}{AC}$．
（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求$\frac{BF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）证明△ADE∽△ABC，从而可知∠ADE=∠B，所以DE∥BC．
（2）过点D作DG∥AB交CF于点G，所以△CDG∽△CAF，所以$\frac{DG}{AF}=\frac{CD}{CA}$，又易证△DEG≌△BEF（AAS），DG=BF，从而可证$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CD}{AC}$．
（3）由（2）可得：$\frac{BF}{AF}=\frac{CD}{AC}$，由于AB=AC，AF=CD，所以$\frac{BF}{AF}$=$\frac{AF}{AF+BF}$，从而可得（$\frac{BF}{AF}$）²+$\frac{BF}{AF}$-1=0，解出$\frac{BF}{AF}$即可求出答案．

解答 解：（1）∵∠A=∠A，
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴△ADE∽△ABC
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC
（2）过点D作DG∥AB交CF于点G，
∴△CDG∽△CAF
∴$\frac{DG}{AF}=\frac{CD}{CA}$，
∵E是BD的中点，
∴BE=ED，
∵DG∥AB，
∴∠FBE=∠EDG
在△DEG与△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠EDG}\\{∠FEB=∠DEG}\\{BE=ED}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△BEF（AAS）
∴DG=BF，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CD}{AC}$
（3）由（2）可得：$\frac{BF}{AF}=\frac{CD}{AC}$
∵AB=AC，AF=CD，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{AF}{AF+BF}$
∴BF²+BF•AF-AF²=0，
∴（$\frac{BF}{AF}$）²+$\frac{BF}{AF}$-1=0，
∴解得：$\frac{BF}{AF}$=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

点评 本题考查相似三角形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型．