已知直线y=$-\frac{3}{4}x+3$与直线y=$kx-\frac{16}{3}$交于x轴上的同一个点A.直线y=$-\frac{3}{4}x+3$与y轴交于点B.直线y=$kx-\frac{16}{3}$与y轴的交点为C．(1)求k的值,(2)若点P是线段AB上的点且△ACP的面积为10.求点P的坐标,(2)若点M.N分别是x轴上.直线y=$kx-\frac{16}{3}$上的动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

已知直线y=$-\frac{3}{4}x+3$与直线y=$kx-\frac{16}{3}$交于x轴上的同一个点A，直线y=$-\frac{3}{4}x+3$与y轴交于点B，直线y=$kx-\frac{16}{3}$与y轴的交点为C．
（1）求k的值；
（2）若点P是线段AB上的点且△ACP的面积为10，求点P的坐标；
（2）若点M、N分别是x轴上、直线y=$kx-\frac{16}{3}$上的动点（点M不与点O重合），是否存在点M、N使得，△AMN与△AOC全等？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）先由直线y=$-\frac{3}{4}x+3$求出点A坐标，再代入直线y=$kx-\frac{16}{3}$即可求出k的值；
（2）根据△ACP的面积=△ABC的面积-△PBC的面积=10，先求出点P的横坐标，再代入函数解析式即可求出纵坐标；
（3）分三种情况：N为直角顶点有两种情况，M为直角顶点有一种情况；先根据勾股定理求出斜边AC，再根据全等三角形的对应边相等和三角形的面积关系容易得出结果．

解答解：（1）对于直线y=$-\frac{3}{4}x+3$，当y=0时，$-\frac{3}{4}x+3$=0，
解得：x=4，∴A（4，0），λ
把A（4，0）代入直线y=$kx-\frac{16}{3}$得：4k-$\frac{16}{3}$=0，
解得：k=$\frac{4}{3}$，y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$；
（2）设点P（a，b），
则△ACP的面积=△ABC的面积-△PBC的面积
=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{16}{3}$）×4-$\frac{1}{2}$（3+$\frac{16}{3}$）a=10，
解得：a=$\frac{8}{5}$，
把P（$\frac{8}{5}$，b）代入y=$-\frac{3}{4}x+3$得：b=$\frac{9}{5}$，
∴点P的坐标为（$\frac{8}{5}，\frac{9}{5}$）；
（3）存在；分三种情况：
①如图1所示：作ND⊥x轴于D，
∵AC=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{16}{3}）^{2}}$=$\frac{20}{3}$，△AMN≌△AOC，
∴AM=AC=$\frac{20}{3}$，AN=AO=4，MN=OC=$\frac{16}{3}$，
∵△AMN的面积=$\frac{1}{2}$AM•ND=$\frac{1}{2}$AN•MN，
∴ND=$\frac{AN•MN}{AM}$=$\frac{4×\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}}=\frac{16}{5}$，
∴N的纵坐标为-$\frac{16}{5}$，代入y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$得：
$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$=-$\frac{16}{5}$，
解得：x=$\frac{8}{5}$，
∴N（$\frac{8}{5}，-\frac{16}{5}$）；
②如图2所示：
∵△AMN≌△AOC，
∴AM=AO=4，MN=OC=$\frac{16}{3}$，
∴OM=4+4=8，
∴N（$8，\frac{16}{3}$）；
③如图3所示：作NE⊥x轴于E，
∵△AMN≌△AOC，
∴AM=AC=$\frac{20}{3}$，AN=AO=4，MN=OC=$\frac{16}{3}$，
同①得：NE=$\frac{16}{5}$，
把y=$\frac{16}{5}$代入y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$得：
$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$=$\frac{16}{5}$，
解得：x=$\frac{32}{5}$，
∴N （$\frac{32}{5}，\frac{16}{5}$）；
综上所述：N点D的坐标为：（$\frac{8}{5}，-\frac{16}{5}$）或N（$8，\frac{16}{3}$）或（$\frac{32}{5}，\frac{16}{5}$）．