Question

17．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上一点且BE=DF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）连接EF，求证：AC垂直平分EF．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，可得AB=AD，∠B=∠D，又由BE=DF，根据SAS，即可证得△ABE≌△ADF；
（2）由全等三角形的性质得出AE=AF，∠BAE=∠DAF．根据菱形的性质得出∠BAC=∠DAC，那么∠EAC=∠FAC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明出AC垂直平分EF．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D．
在△ABE和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；

（2）∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAC-∠DAF，
即∠EAC=∠FAC，
∴AC垂直平分EF．

点评 此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，注意菱形的四条边都相等，对角相等，菱形的每一条对角线平分一组对角．