Question

13．已知抛物线y=x²-2x-24．
（1）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．

Answer 1

分析 （1）根据b²-4ac与0的关系即可证明出二次函数的图象与x轴交点的个数；
（2）由抛物线的解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出AB的长，而三角形的高即为顶点的纵坐标，由此可求出△ABP的面积．

解答 解：（1）
由函数表达式可知：△=b²-4ac，
=（-2）²-4×1×（-24）
=100
∵△＞0，
∴该抛物线一定与x轴有两个交点；
（2）根据题意，得x²-2x-24=0    
解得x₁=-4，x₂=6，
即A（-4，0），B（6，0），
∴在△ABP中，AB=10，
∵PC=|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|=25，
∴在△ABP中，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PC=125．

点评 本题考查了抛物线与x轴交点问题，根据二次函数的对称性求得底边AB的长度，根据顶点坐标求得底边上的高，是解题的关键．