如图.已知直线l1:y=x+3与x轴交于点A.与y轴交于点B.与直线l2:y=-$\frac{1}{2}$x交于点P．直线l3:y=-$\frac{3}{2}$x+4与x轴交于点C.与y轴交于点D.与直线l1交于点Q.与直线l2交于点R．.点B的坐标是(0.3).点P的坐标是,(2)将△POB沿y轴折叠后.点P的对应点为P′.试判断点P′是否在直线l3上.并说明理由,(3)求△PQR的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，已知直线l₁：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线l₂：y=-$\frac{1}{2}$x交于点P．直线l₃：y=-$\frac{3}{2}$x+4与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线l₁交于点Q，与直线l₂交于点R．
（1）点A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，3），点P的坐标是（-2，1）；
（2）将△POB沿y轴折叠后，点P的对应点为P′，试判断点P′是否在直线l₃上，并说明理由；
（3）求△PQR的面积．

分析（1）直线l₁：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，令y=0，求得x=-3，令x=0，求得y=3，得到A、B的坐标将直线l₁：y=x+3和直线l₂：y=-$\frac{1}{2}$x联立组成有关x、y的方程组，解方程就能求出两直线的交点P坐标；
（2）求得P′的坐标，代入y=-$\frac{3}{2}$x+4即可判断；
（3）求得Q、R、C点的坐标，然后根据即可求得．

解答解：（1）∵直线l₁：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令y=0，求得x=-3，令x=0，求得y=3，
∴A（-3，0）、B（0，3），
∵直线l₁与直线l₂y=-$\frac{1}{2}$x交于点P．
∴解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴P（-2，1），
故答案为：（-3，0），（0，3），（-2，1）；
（2）点P?在直线l₃上
∵P（-2，1），且将△POB沿y轴折叠后，点P?与点P关于y轴对称，
∴P?（2，1），
当x=2时，代入y=-$\frac{3}{2}$x+4得y=-$\frac{3}{2}$×2+4=1，
∴点P?在直线l₃上；
（3）分别过点P作PE⊥x轴于F，过点Q作QF⊥x轴于F，过点R作RG⊥x轴于G，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$ 得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{2}{5}$，$\frac{17}{5}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$ 得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$
∴R（4，-2），
对于y=-$\frac{3}{2}$x+4，则y=0得x=$\frac{8}{3}$，
∴C（$\frac{8}{3}$，0），
∴S_△AQC=$\frac{1}{2}$AC×QF=$\frac{1}{2}$×（$\frac{8}{3}$+3）×$\frac{17}{5}$=$\frac{289}{30}$，S_△OCR=$\frac{1}{2}$OC•GR=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×2=$\frac{8}{3}$，S_△AOP=$\frac{1}{2}$OA•PE=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$，
∴S_△PQR=S_△AQC+S_△OCR-S_△AOP=$\frac{289}{30}$+$\frac{8}{3}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{54}{5}$．