Question

已知点B（0，1），在y轴上取点D（0，3），点E为直线x=1上的一动点，则x轴上是否存在一点F，使D、B、F、E四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作B点关于x轴的对称点B′，则B′（0，-1），作D点关于直线x=1的对称点D′，则D′（2，3），连结D′B′交直线x=1于E点，x交轴于F，根据D点与D′点关于直线x=1对称，则ED=ED′，由B点关于x轴的对称点B′得到FB=FB′，根据两点之间线段最短得到此时四边形BFED的周长为D、B、F、E四点所围成的四边形周长的最小值，然后根据两点之间的距离公式计算出D′B′=2

5

，从而得到最小周长=2+2

5

；再待定系数法求出直线DB′的解析式为y=2x-1，则把x=1或y=0分别代入y=2x-1可得到E点和F点坐标；

解答：解：存在．
作B点关于x轴的对称点B′，则B′（0，-1），作D点关于直线x=1的对称点D′，则D′（2，3），连结D′B′交直线x=1于E点，x交轴于F，如图，
∴ED=ED′，FB=FB′，
∴此时D、B、F、E四点所围成的四边形周长最小，最小值=BD+BF+FE+ED=BD+B′D′=2+

(2-0)2+(3+1)2

=2+2

5

；
设直线CB′的解析式为y=kx+b，
把D′（2，3）、B′（0，-1）代入

2k+b=3 b=-1

，解得

k=2 b=-1

，
∴直线D′B′的解析式为y=2x-1，
当x=1时，则y=2-1=1；当y=0时，2x-1=0，解得x=

1

2

，
∴点E坐标为（1，1），点F坐标为（

1

2

，0）；

点评：本题考查了轴对称的性质，待定系数法求解析式勾股定理的应用，运用两点之间线段最短解决最短路径问题；熟练运用两点间的距离公式计算线段的长．