Question

如图，已知P（0，1），⊙P与x轴交于A、B两点，AC是⊙P的直径，OA、OD的长是关于x的方程x²-3kx+2k²=0的两根，且OA²+OD²=20．
（1）求BC的长；
（2）求证：AD是⊙P的切线；
（3）连结CD交⊙P于点E，过点E作⊙P的切线交x轴于点F，求直线EF的解析式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）根据垂径定理，由OP⊥AB得到OA=OB，于是可判断OP为△ABC的中位线，则BC=2OP=2；
（2）根据根与系数的关系得到OA+OD=3k，OA•OD=2k²，再利用完全平方公式变形得OA²+OD²=（OA+OD）²-2OA•OD=20，则9k²-4k²=20，解得k=±2，利用OA+OD=3k＞0得到k=2，然后解出方程的两根得x₁=2，x₂=4，则A（-2，0），D（0，-4），再利用勾股定理分别计算出AD=2

5

，AP=

5

，则可根据勾股定理的逆定理证明△PAD为直角三角形，∠PAD=90°，于是根据切线的判定定理得到AD是⊙P的切线；
（3）连结AE、PE，如图，先计算出AC=2

5

，则AC=AD，得到△ACD为等腰直角三角形，∠ACD=45°，再由AC是⊙P的直径得到∠AEC=90°，则有CE=DE，于是利用线段中点坐标公式得到点E的坐标为（1，-1）；接着根据切线的性质得PE⊥EF，根据圆周角定理得∠APE=2∠ACD=90°，则可判断AC∥EF，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=

1

2

x+1，设直线EF的解析式为y=mx+n，则利用两直线平行的问题得到m=

1

2

，然后把E（1，-1）代入y=

1

2

x+n求出n的值即可得到直线EF的解析式．

解答：（1）解：∵OP⊥AB，
∴OA=OB，
又∵AP=PC，
∴OP为△ABC的中位线，
∴BC=2OP=2；
（2）证明：∵OA、OD的长是关于x的方程x²-3kx+2k²=0的两根，
∴OA+OD=3k，OA•OD=2k²，
∵OA²+OD²=（OA+OD）²-2OA•OD=20，
∴9k²-4k²=20，解得k=±2，
而OA+OD=3k＞0，
∴k=2，
方程变形为x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4，
∴A（-2，0），D（0，-4）
∴PD=1-（-4）=5，AD=

22+42

=2

5

，AP=

12+22

=

5

，
∴AP²+AD²=PD²，
∴△PAD为直角三角形，∠PAD=90°，
∴AP⊥AD，
∴AD是⊙P的切线；
（3）证明：连结AE、PE，如图，
在Rt△ABC中，∵AB=2+2=4，BC=2，
∴AC=

22+42

=2

5

∴AC=AD，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
∵AC是⊙P的直径，
∴∠AEC=90°．
∴AE⊥CD，
∴CE=DE，即点E为CD的中点，
而C（2，2），D（0，-4），
∴点E的坐标为（1，-1），
∵EF为是⊙P的切线，
∴PE⊥EF，
∵∠APE=2∠ACD=90°，
∴PE⊥AC，
∴AC∥EF，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），P（0，1）代入得

-2k+b=0 b=1

，解得

k= 1 2 b=1

，
∴直线AC的解析式为y=

1

2

x+1，
设直线EF的解析式为y=mx+n，
∵直线y=mx+n与直线y=

1

2

x+1平行，
∴m=

1

2

，
把E（1，-1）代入y=

1

2

x+n得

1

2

+n=-1，解得n=-

3

2

，
∴直线EF的解析式为y=

1

2

x-

3

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理、切线的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质；会利用勾股定理的逆定理判断直角三角形；记住根与系数的关系；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质．