Question

5．如图，△ABC中，∠C，∠B的平分线相交于O，过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、E，求证：△BDO∽△BOC∽△OEC．

Answer 1

分析 由角平分线的交点得出∠OBD=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCE=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠OA平分∠BAC，由三角形的外角性质得出∠ODB=∠OAD+∠AOD=$\frac{1}{2}$∠BAC+90°，由三角形内角和定理得出∠BOC=$\frac{1}{2}$∠BAC+90°，证出△BDO∽△BOC，同理：△BOC∽△OEC，即可得出结论．

解答 证明：∵∠C，∠B的平分线相交于O，
∴∠OBD=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCE=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠OA平分∠BAC，
∴∠OAD=∠OAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AO⊥DE，
∴∠AOD=∠AOE=90°，
∴∠ODB=∠OAD+∠AOD=$\frac{1}{2}$∠BAC+90°，
∵∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=$\frac{1}{2}$∠BAC+90°，
∴△BDO∽△BOC，
同理：△BOC∽△OEC，
∴△BDO∽△BOC∽△OEC．

点评 本题考查了角平分线的交点的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．