Question

13．图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=$\frac{3}{5}$．

（1）求点M离地面AC的高度BM；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC=55cm，求铁环钩MF的长度．

Answer 1

分析 （1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；
（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，又因为sin∠MOA=$\frac{3}{5}$，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=$\frac{3}{5}$FM，再根据MN=11-3=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位．

解答 解：（1）过点M作MD⊥OA交OA于点D，
在RT△ODM中，sinα=$\frac{DM}{OM}=\frac{3}{5}$，
∴DM=15cm∴OD=20 cm，
∴AD=BM=5cm；

（2）延长DM交CF于点E，
易得：∠FME=∠AOM=α，
∵ME=AC-DM=55-15=40cm，
∴cosα=$\frac{ME}{MF}=\frac{4}{5}$
∴MF=50cm．

点评 考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答．