Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；

（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】代数几何综合题．

【分析】方法一：

（1）利用待定系数法即可求得；

（2）如答图1，四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．求出△PBC面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值；

（3）如答图2，DE为线段AC的垂直平分线，则点A、C关于直线DE对称．连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．分别求出直线DE、AM的解析式，联立后求出点G的坐标．

方法二：

（1）略．

（2）由于△ABC面积为定值，因此只需△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，利用水平底与铅垂高乘积的一半可求出P点坐标．

（3）因为点A，C关于直线DE对称，因此直线AM与直线DE的交点即为点G．联立AM与DE的直线方程，可求出G点坐标．

【解答】方法一：

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．

∴，解得，

∴这条抛物线的解析式为：y=﹣x²+x+2．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将B（2，0）、C（0，2）代入得：

，解得，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．

如答图1，连接BC．

四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．

设P（x，﹣x²+x+2），

过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F（x，﹣x+2）．

∴PF=（﹣x²+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x²+2x．

S_△PBC=S_△PFC+S_△PFB=PF（x_F﹣x_C）+PF（x_B﹣x_F）=PF（x_B﹣x_C）=PF

∴S_△PBC=﹣x²+2x=﹣（x﹣1）²+1

∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P（1，2）．

∴当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大．

（3）存在．

∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，

∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，

∴△AOC∽△ADE，

∴=，即=，解得AE=，

∴E（，0）．

∵DE为线段AC的垂直平分线，

∴点D为AC的中点，∴D（﹣，1）．

可求得直线DE的解析式为：y=﹣x+ ①．

∵y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣）²+，∴M（，）．

又A（﹣1，0），则可求得直线AM的解析式为：y=x+ ②．

∵DE为线段AC的垂直平分线，

∴点A、C关于直线DE对称．

如答图2，连接AM，与DE交于点G，

此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．

联立①②式，可求得交点G的坐标为（﹣，）．

∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为（﹣，）．

方法二：

（1）略．

（2）连接BC，过点P作x轴垂线，交BC′于F，

当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大．

∵B（2，0）、C（0，2），

∴lBC：y=﹣x+2，

设P（t，﹣t²+t+2），

∴F（t，﹣t+2），

S_△BCP=（P_Y﹣F_Y）（B_X﹣C_X）=（﹣t²+t+2+t﹣2）×2=﹣t²+2t，

∴当t=1时，S_△BCP有最大值，即四边形ABPC的面积最大．

∴P（1，2）．

（3）∵DE为线段AC的垂直平分线，

∴点A是点C关于直线DE对称，

∴GC=GA，

∴△CMG的周长最小时，M，G，A三点共线．

∵抛物线y=﹣x²+x+2，

∴M（，），A（﹣1，0），

∴l_MA：y=x+，

∵A（﹣1，0），C（0，2），

∴K_AC==2，

∵AC⊥DE，∴K_AC×K_DE=﹣1，K_DE=﹣，

∵点D为AC的中点，

∴D_x==﹣，D_Y==1，

∴D（﹣，1），

∴l_DE：y=﹣x+，

∴⇒，

∴G（﹣，）．

     

【点评】本题是二次函数综合题，难度适中，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、相似三角形、轴对称﹣最短路线、图形面积计算、最值等知识点．