Question

14．已知在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，CF=CD，求证：BF=AD，BF⊥AD．

Answer 1

分析 先证出∠CBF=∠CAD，再由ASA证明△BCF≌△ACD，得出对应边相等即可；根据HL证Rt△BCF≌Rt△ADC，推出∠FBC=∠DAC，根据∠BCF=90°求出∠CBF+∠BFC=90°，推出∠DAC+∠AFE=90°，求出∠AEF=90°即可．

解答 证明：∵AC⊥BD，BE⊥AD，
∴∠BCF=∠ACD=∠BED=90°，
∴∠CBF+∠D=90°，∠CAD+∠D=90°，
∴∠CBF=∠CAD，
在△BCF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠ACD}\\{BC=AC}\\{∠CBF=∠CAD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACD（ASA），
∴BF=AD；
∵AC⊥BD，
∴∠BCF=∠ACD=90°，
在Rt△BCF和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=AD}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCF≌Rt△ACD（HL），
∴∠FBC=∠CAD，
∵∠BCF=90°，
∴∠CBF+∠BFC=90°，
∵∠BFC=∠AFE，
∴∠CAD+∠AFE=90°，
∴∠AEF=180°-90°=90°，
∴AD⊥BF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．