Question

【题目】我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图像上，则点（，）也在其图像上，即从数的角度可以知道它的图像关于轴对称．解答下列问题：

（1）的图像关于 轴对称；

（2）①直接写出函数的伴随函数的表达式 ；

②在如图①所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图像；

（3）若直线与的伴随函数图像交于、两点（点A在点B的上方），连接、，且△ABO的面积为12，求的值；

（4）若直线（不平行于y轴）与（的常数）的伴随函数图像交于、两点（点、分别在第一、四象限），且，试问、两点的纵坐标的积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）关于轴对称；（2）①；②详见解析；（3）；（4）、两点的纵坐标之积为常数，理由见详解．

【解析】

（1）根据特点，即可求出的图像关于轴对称；

（2）根据伴随函数的定义，可以写出答案；

（3）先求出直线与轴于点，解方程组，用含k的式子表示y1,y2，进而表示出，根据△ABO的面积为12，求出，即可求出k；

（4）设、，分别过作轴，轴，垂足分别为，可证得，，用A、B的坐标表示出来，结合的伴随函数关系式，得到、两点的纵坐标的积为，问题得解．

解：（1设在的图像上，则函数图像上，所以的图像关于 关于轴对称；

（2）① ②图像如图：

（3）∵∴当时，

∴直线交轴于点∴

设，，据题意有

∴∴

∴又∵

∴

∴∴

（4）、两点的纵坐标之积为常数

∵点均在图像上，且、分别在第一、四象限

∴可设、

分别过作轴，轴，垂足分别为

又∵∴

∴∴

∴∴

∴

∵为常数∴两点的纵坐标之积为常数．