Question

已知直线l_n：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁，（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S₁；当n=2时，直线l₂：y=-

3

2

x+

1

2

与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为S₂；…依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．则s₁+s₂+s₃+s₄+s₅=

 

；S_n=

 

．

Answer 1

分析：解出l₁、l₂、l₃、l₄…l_n的解析式为l₁：y=-2x+1，l₂：y=-

3

2

x+

1

2

，
l₃：y=-

4

3

x+

1

3

，l₄：y=-

5

4

x+

1

4

，l₅：y=-

6

5

x+

1

5

…
l_n：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不为零的自然数）．
于是S₁=1×

1

2

×

1

2

=

1

4

；
S₂=

1

2

×

1

3

×

1

2

=

1

12

；
S₃=

1

3

×

1

2

×

1

4

=

1

24

；
S₄=

1

4

×

1

5

×

1

2

=

1

40

；
S₅=

1

5

×

1

6

×

1

2

=

1

60

…
S_n=

1

n

×

1

n+1

×

1

2

=

1

2n(n+1)

．
s₁+s₂+s₃+s₄+s₅=

1

4

+

1

12

+

1

24

+

1

40

+

1

60

=

5

12

．

解答：解：s₁+s₂+s₃+s₄+s₅=

5

12

；
S_n=

1

2n(n+1)

．

点评：此题是一道规律探索性题目，先根据函数解析式的通项公式得出每一个函数解析式，画出图象，总结出规律，便可解答．