Question

3．【圆的概念】在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，如图1所示，换言之，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上．
【拓展延伸】圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可写为：（x-a）²+（y-b）²=r²．
例如：圆心在P（-1，-2），半径为5的圆的方程可写为：（x-2）²+（y+1）²=25．
（1）请填空：
①以A（3，0）为圆心，半径为1的圆的方程为：（x-3）²+y²=1；
②以B（-1，-2）为圆心，半径为$\sqrt{3}$的圆的方程为：（x+1）²+（y+2）²=3；
（2）请根据以上材料解决下列问题：
如图2所示，以B（-6，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知∠AOC=$\frac{3}{5}$．
①连接EC，判断EC和⊙B的位置关系，并说明理由；
②在BE上是否存在一点P，使PB=PC=PE=PO？若存在，求出P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据阅读材料中的定义求解；
（2）①根据垂径定理由BD⊥OC得到CD=OD，则BE垂直平分OC，再根据线段垂直平分线的性质得EO=EC，则∠EOC=∠ECO，加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得到EC是⊙B的切线；
②由∠BOE=∠BCE=90°，根据圆周角定理得点C和点O偶在以BE为直径的圆上，即当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，则sin∠BOE=sin∠AOC=$\frac{3}{5}$，在Rt△BOE中，利用正弦的定义计算出BE=10，利用勾股定理计算出OE=8，则E点坐标为（0，8），于是得到线段AB的中点P的坐标为（-3，4），PB=5，然后写出以P（-3，4）为圆心，以5为半径的⊙P的方程．

解答 （1）解：①以A（3，0）为圆心，1为半径的圆的方程为（x-3）²+y²=1；
②以B（-1，-2）为圆心，$\sqrt{3}$为半径的圆的方程为（x+1）²+（y+2）²=3；
故答案为（x-3）²+y²=1；（x+1）²+（y+2）²=3；

（2）①证明：∵BD⊥OC，
∴CD=OD，
∴BE垂直平分OC，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠ECO，
∵BO=BC，
∴∠BOC=∠BCO，
∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO，
∴∠BOE=∠BCE=90°，
∴BC⊥CE，
∴EC是⊙B的切线；
②存在．
∵∠BOE=∠BCE=90°，
∴点C和点O偶在以BE为直径的圆上，
∴当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，
∵B点坐标为（-6，0），
∴OB=6，
∵∠AOC+∠DOE=90°，∠DOE+∠BEO=90°，
∴∠BEO=∠AOC，
∴sin∠BEO=sin∠AOC=$\frac{3}{5}$，
在Rt△BOE中，sin∠BEO=$\frac{OB}{BE}$，
∴$\frac{6}{BE}$=$\frac{3}{5}$，
∴BE=10，
∴OE=$\sqrt{B{E}^{2}-O{B}^{2}}$=8，
∴E点坐标为（0，8），
∴线段AB的中点P的坐标为（-3，4），PB=5，
∴以P（-3，4）为圆心，以5为半径的⊙P的方程为（x+3）²+（y-4）²=25．

点评 本题了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定定理、圆周角定理和等腰三角形的性质；阅读理解能力也是本题考查的重点；会运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行几何计算．