Question

一块直角三角形木版的一条直角边AB为3m，面积为6m²，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图①进行加工，小华准备按图②进行裁料，他们谁的加工方案符合要求？

Answer 1

考点：相似三角形的应用

专题：计算题

分析：先根据三角形面积公式求出BC=4，如图1，设小明加工的正方形桌面BFED的边长为xm，则CD=BC-BD=4-x，证明△CDE∽△CBA，由相似的性质得

4-x

4

=

x

3

，解得x=

12

7

；如图2，过点B作BH⊥AC，分别交DE、AC于H、K两点，利用勾股定理计算出AC=5，再利用面积法计算出BH=

12

5

，设小华加工的正方形桌面DGFE的边长为y m，则KH=y，BK=BH-HK=

12

5

-y，接着证明△BDE∽△BAC，利用相似比得

y

5

=

12 5 -y

12 5

，解得y=

60

37

，然后比较x与y的大小即可得到谁的加工方案符合要求．

解答：解：∵

1

2

AB•BC=6，
∴BC=

2×6

3

=4，
如图1，设小明加工的正方形桌面BFED的边长为xm，则CD=BC-BD=4-x，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴

CD

CB

=

DE

AB

，即

4-x

4

=

x

3

，解得x=

12

7

；
 如图2，过点B作BH⊥AC，分别交DE、AC于H、K两点，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=

AB2+BC2

=5，
∵

1

2

BH•BC=6，
∴BH=

12

5

，
设小华加工的正方形桌面DGFE的边长为y m，则KH=y，BK=BH-HK=

12

5

-y，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴

DE

AC

=

BK

BH

，即

y

5

=

12 5 -y

12 5

，解得y=

60

37

，
∵x=

12

7

=

60

35

，
∴x＞y，
∴小明同学的方法符合要求．

点评：本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．也考查了勾股定理和正方形的性质．