Question

【题目】在正方形ABCD中，点E是直线CD上一动点，以BE为斜边向上方作等腰直角△BEF，连接AF，试求线段AF与DE的数量关系．

（1）小可同学进行探索：①将点E的位置特殊化，发现DE= ___ AF；

②点E运动过程中，∠BAF= ___ ；(填度数)

（2）如图1，当点E在线段CD上时，证明AF与DE的数量关系；

（3）如图2，当边EF被对角线BD平分时，求值．

Answer 1

【答案】（1）①；②45°或135°；（2）；（3）

【解析】

（1）①当点E与点C重合、点F与点O重合时，可证得DE=AF，∠BAF=45°；

②当点E在CD延长线上时，利用两边对应成比例且夹角相等证得△ABF∽△DBE，即可求得∠BAF=∠BDE=135°；

（2）利用两边对应成比例且夹角相等证得△ABF∽△DBE，即可求得答案；

（3）利用（2）的结论证得，BF，则FE=，BE=，求得BM，证得△MBE∽△EBD，得到，即可求得BD和MD的长，从而求得答案．

（1）①∵四边形ABCD是正方形，

∴OB=OC=AC=BD，∠BOC=90°，

当点E与点C重合、点F与点O重合时，如图：

△BEF等腰直角三角形，

∴DE=AB=AF，

②∠BAF=45°；

当点E在CD延长线上时，如图：

连接BD，

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABD=45°，

∴，

∵△BEF是等腰直角三角形，∠BFE=90°，

∴BF=FE，∠FBE=45°，

∴，

∴，即，

∴∠ABF+∠EBA =∠DBE+∠EBA =45°，

∴∠ABF=∠DBE，

∴△ABF∽△DBE，

∴∠BAF=∠BDE=∠ADB+∠ADE =45°+90°=135°，

故答案为：①DE=AF，②∠BAF=45°或135°；

（2）连接BD，

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABD=45°，

∴，

∵△BEF是等腰直角三角形，∠BFE=90°，

∴BF=FE，∠FBE=45°，

∴，

∴，即，

∴∠ABF+∠DBF =∠DBE+∠DBF=45°，

∴∠ABF=∠DBE，

∴△ABF∽△DBE，

∴，

∴；

（3）∵△ABF∽△EBD，

∴，

又∵∠MEB=∠BDE=45°，∠MBE=∠EBD，

∴△MBE∽△EBD，

∴，

令BF，

∴FE=，BE=，

∵M是FE的中点，

∴FM=，

∴BM=，

∴，

∴BD=，

∴MD=BD-BM=-=，

∴，

∴．