Question

【题目】如图，已知二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于，对称轴为直线，顶点为．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）经过、两点的直线交抛物线的对称轴于点，点为直线上方抛物线上的一动点，当点在什么位置时，的面积最大？并求此时点的坐标及的最大面积；

（3）如图，平移抛物线，使抛物线的顶点在射线上移动，点平移后的对应点为，点的对应点为点，连接、，是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；（3）存在，，，，．

【解析】

（1）由对称性求得A点坐标, 再分别将点的坐标代入二次函数的解析式,解方程组求出的值即可.

（2）由B，C两点得到直线BC的函数解析式，从而得到直线BC与对称轴的交点，过点作轴交于,设，则,用含m的式子分别表示出PQ，，得到,,进而转化为二次函数的最值问题来解决即可.

（3）由题可得，，故可得的解析式为，设其中（），则由平移的规律得，又，根据平面上两点间的距离公式分别表示出，，，若能为等腰三角形，则分三种情况：①若，②若，若，分别建立方程求解即可.

（1）解：由对称性知点，

把，，代入得

解得

∴二次函数解析式为

（2）

解：由题可得为，

过作轴交于

设，则

∴

∴

即：

∵∴有最大值

当时，

此时，

（3）解：由题可得，，，为，

设其中（），

则，，

，

①若，则

得∴

②若，则

得或（舍）∴

③若，则

得或

∴，

综上所述，存在，，，

使为等腰三角形