Question

8．如图，两个全等的矩形ABCD和GBEF，点A，B，E在同一条直线上，对角线AC和EG相交于点O．若点O恰好是EG的中点，BC=1，则AB的长是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 连接AG，由两个矩形全等得出△ABC≌△GBE，由全等三角形的性质得出AB=GB，∠2=∠3，BC=BE=1，证出AO⊥BG，由线段垂直平分线的性质得出AG=AE，设AB=GB=x，则GC=GB-BC=x-1，AG=AE=x+1，在Rt△ABG中，AG=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$x，得出$\sqrt{2}$x=x+1，解方程即可．

解答 解：连接AG，如图所示：
∵矩形ABCD≌矩形GBEF，
∴△ABC≌△GBE，
∴AB=GB，∠2=∠3，BC=BE=1，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AO⊥BG，
∵点O是EG的中点，
∴AG=AE，
设AB=GB=x，则GC=GB-BC=x-1，AG=AE=x+1，
在Rt△ABG中，AB=GB=x，∠ABG=90°，
∴AG=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x=x+1，
解得：x=$\sqrt{2}$+1，
∴AB=$\sqrt{2}$+1；
故选：C．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．