Question

矩形ABCD中，AB=4，tan∠DBC=

4

3

，E为CD边的中点，点M从点B运动到点C，速度为每秒1个单位长度，点N从点E出发，沿折线E-D-B运动，速度为每秒2个单位长度，若点M、N同时出发，当一点到达终点时，另一点也随即停止运动，设运动时间为t（s），△CMN的面积为S．
（1）求BC和BD的长；
（2）求运动过程中S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，有时，一个S值，有两个t值与之对应；有时，一个S值，只有一个t值与之对应．请写出“一个S值，只有一个t值与之对应”时，S的取值范围．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据矩形的性质得CD=AB=4，∠BCD=90°，在Rt△BCD中，利用正切的定义可计算出BC=3，然后利用勾股定理可计算出BD=5；
（2）分类讨论：当点N在DE上，即0≤t≤1时，如图1，根据三角形面积公式得到S=-t²+2t+3；
当点N在DB上，即1＜t≤3时，如图2，作NH⊥BC于H，则BN=5+2-2t=7-2t，先证明△BNH∽△BDC，利用相似比得到NH=

4

5

（7-2t），再根据三角形面积公式得到
S=

4

5

t²-

26

5

t+

42

5

；
（3）当0≤t≤1时，S=-t²+2t+3=-（t-1）²+4，根据二次函数的性质S随t的增大而增大，得到S的范围为3≤S≤4；当1＜t≤3时，S=

4

5

t²-

26

5

t+

42

5

，
抛物线的对称轴为直线x=

13

4

，根据二次函数的性质S随t的增大而减小，易得S的范围为0≤S＜4，于是得到当0≤S＜3时，只有一个t值与S对应．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4，∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，∵tan∠DBC=

CD

BC

=

4

3

，
∴BC=3，
∴BD=

BC2+CD2

=5；
（2）∵E为CD边的中点，
∴DE=CE=2，
当点N在DE上，即0≤t≤1时，如图1，AM=t，MC=3-t，EN=2t，
∴S=

1

2

MC•CN=

1

2

（3-t）•（2+2t）=-t²+2t+3；
当点N在DB上，即1＜t≤3时，如图2，作NH⊥BC于H，则BN=5+2-2t=7-2t，
∵NH∥BC，
∴△BNH∽△BDC，
∴

NH

DC

=

BN

BD

，即

NH

4

=

7-2t

5

，
∴NH=

4

5

（7-2t），
∴S=

1

2

MC•NH=

1

2

（3-t）•

4

5

（7-2t）=

4

5

t²-

26

5

t+

42

5

，
综上所述，S=

-t2+2t+3(0≤t≤1) 4 5 t2- 26 5 t+ 42 5 (1＜t≤3)

；
（3）当0≤t≤1时，S=-t²+2t+3=-（t-1）²+4，
当t=0时，S=3；当t=1时，S=4，
所以S的范围为3≤S≤4；
当1＜t≤3时，S=

4

5

t²-

26

5

t+

42

5

，
抛物线的对称轴为直线x=-

- 26 5

2× 4 5

=

13

4

，
而当t=1时，S=4；当t=3时，S=0，
所以S的范围为0≤S＜4，
所以当0≤S＜3时，只有一个t值与S对应．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质、锐角三角形函数的定义和二次函数的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；记住三角形面积公式；
理解分类讨论的思想在数学的应用．