Question

9．如图1，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E₁，F在CB上，且满足∠FOB=∠FBO，OE₁平分∠COF．
（1）求∠E₁OB的度数；
（2）若向右平行移动AB，其它条件不变，那么∠OBC：∠OFC的值是否发生变化？若变化，找出其中规律，若不变，求出这个比值；
（3）如图2，若OE₂平分∠COE₁交CB于E₂，OE₃平分∠COE₂交CB于E₃，…，以此类推直到OE_n平分∠COE_n-1．若∠BOA=x，当n=4时，求∠OE₄C．

Answer 1

分析 （1）先根据CB∥OA得出∠AOC+∠C=180°，故可得出∠COA的度数，再由角平分线的定义得出∠1=∠2，∠3=∠4．根据∠COA=∠1+∠2+∠3+∠4=60°可得出∠EOB的度数；
（2）根据BC∥OA可知∠5=∠FOA=∠3+∠4，∠6=∠4，再由∠3=∠4，可得出∠6=∠3，∠5-2∠6，即∠OFC=2∠OBC，故可得出结论；
（3）先求出∠COE₁，探究规律后即可求解．

解答 解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC+∠C=180°，∠6=∠4．
∵∠C=120°，
∴∠COA=60°．  
∵OE₁平分∠COF （已知），
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠6，∠6=∠4，
∴∠3=∠4．
∵∠COA=∠1+∠2+∠3+∠4=60°，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠COA=30°，即∠E₁OB=30°；
     
（2）∠OBC：∠OFC=1：2．
∵BC∥OA，
∴∠5=∠FOA=∠3+∠4，∠6=∠4（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠3=∠4，
∴∠6=∠3，
∴∠5-2∠6，即∠OFC=2∠OBC．
∴若向右平行移动AB，其它条件不变，那么∠OBC：∠OFC的值不发生变化；

（3）∵∠COE₁=30°-x，OE₂平分∠COE₁，
∴∠COE₂=$\frac{1}{2}$（30°-x），
∵OE₃平分∠COE₂，
∴∠COE₃=$\frac{1}{4}$（30°-x），
∵OE₄平分∠COE₃，
∴∠COE₄=$\frac{1}{8}$（30°-x）．
∴∠OE₄C=180°-120°-$\frac{1}{8}$（30°-x）=（$\frac{225}{4}$）°+$\frac{1}{8}$x

点评 本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及平行四边形的性质，有一定的综合性，难度适中．