Question

如图，圆O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，G为弧EF上的一点，请判断∠EGF与∠BOC是否相等，并说明理由．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：利用切线的性质得出∠BOD=∠BDF，同理可得：∠COD=∠CDE，再利用四点共圆的性质求出即可．

解答：解：∠EGF=∠BOC，
理由：连接OD、ED、DF
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BD=BF，∠OBF=∠OBD，
∴OB⊥DF，
∴∠BDF=90°-∠OBD，
∵BD切⊙O于点D，OD是⊙O半径，
∴OD⊥BC，
∴∠BOD=90°-∠OBD，
∴∠BOD=∠BDF，
同理可得：∠COD=∠CDE，
即∠BOC=∠BOD+∠COD=∠BDF+∠CDE，
∵∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
∴∠BOC+∠EDF=180°，
∵D、E、G、F四点共圆，
∴∠EGF+∠EDF=180°，
∴∠EGF=∠BOC．

点评：此题主要考查了三角形内切圆与内心以及四点共圆，得出：∠COD=∠CDE，∠BOD=∠BDF是解题关键．