如图.已知抛物线经过原点o和x轴上一点A(4.0).抛物线顶点为E.它的对称轴与x轴交于点D．直线y=-2x-1经过抛物线上一点B且与y轴交于点C.与抛物线的对称轴交于点F．(1)求m的值及该抛物线对应的解析式,是抛物线上的一点.若S△ADP=S△ADC.求出所有符合条件的点P的坐标,(3)点Q是平面内任意一点.点M从点F出发.沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动.设� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S_△ADP=S_△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

分析（1）首先求出点B的坐标和m的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，因为面积相等，所以AD边上的高相等，即为1；从而得到点P的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；
（3）如解答图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值．

解答解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上
∴m=-2×（-2）-1=4-1=3，
所以，点B（-2，3），
又∵抛物线经过原点O，
∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
∵点B（-2，3），A（4，0）在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b=3}\\{16a+4b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x．

（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
∴P（x，$\frac{1}{4}$x²-x），
若S_△ADP=S_△ADC，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•OC，S△ADP=$\frac{1}{2}$AD•|y|
又∵点C是直线y=-2x-1与y轴交点，
∴C（0，-1），
∴OC=1，
∴|$\frac{1}{4}$x²-x|=$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{4}$x²-x=1或$\frac{1}{4}$x²-x=-1，
解得：x₁=2+2$\sqrt{2}$，x₂=2-2$\sqrt{2}$，x₃=x₄=2，
∴点P的坐标为 P₁（2+2$\sqrt{2}$，1），P₂（2-2$\sqrt{2}$，1），P₃（2，-1）

（3）结论：存在．如图2
∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x，
∴顶点E（2，-1），对称轴为x=2；
点F是直线y=-2x-1与对称轴x=2的交点，∴F（2，-5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=$\sqrt{5}$．
如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM₁Q₁．
∵此时EM₁=AE=$\sqrt{5}$，
∴M₁F=DF-DE-DM₁=4-$\sqrt{5}$，
∴t₁=4-$\sqrt{5}$；
②菱形AEOM₂．
∵此时DM₂=DE=1，
∴M₂F=DF+DM₂=6，
∴t₂=6；
③菱形AEM₃Q₃．
∵此时EM₃=AE=$\sqrt{5}$，
∴DM₃=EM₃-DE=$\sqrt{5}$-1，
∴M₃F=DM₃+DF=（$\sqrt{5}$-1）+5=4+$\sqrt{5}$，
∴t₃=4+$\sqrt{5}$；
④菱形AM₄EQ₄．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M₄Q₄交于点H，则AE⊥M₄Q₄，
∵易知△AED∽△M₄EH，
∴$\frac{{M}_{4}E}{AE}$=$\frac{EH}{DE}$，
即$\frac{{M}_{4}E}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$，得M₄E=2.5，
∴DM₄=M₄E-DE=2.5-1=1.5，
∴M₄F=DM₄+DF=1.5+5=6.5，
∴t₄=6.5．
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t₁=4-$\sqrt{5}$，t₂=6，t₃=4+$\sqrt{5}$，t₄=6.5．

点评本题是二次函数综合题，考查的知识点包括二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、图形面积、菱形的判定与性质等，由于涉及考点众多，所以难度较大．第（2）问是存在型问题，要点在于利用面积的相等关系求出点P的纵坐标，然后运用方程思想求得其横坐标；第（3）问是运动型问题，注意符合条件的菱形有四个，避免漏解．