Question

17．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC=60°，求弧BC的长度．
（2）连接BD，求证：DE=DB．

Answer 1

分析 （1）设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，由圆周角定理得出∠BOC=120°，再由弧长公式即可得出结果；
（2）连接BE，由三角形的内心得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB=∠DBE，即可得出结论．

解答 （1）解：设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，如图1所示：
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴弧BC的长度=$\frac{120π×1}{180}$=$\frac{2}{3}π$．
（2）证明：连接BE，如图2所示：
∵E是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠DEB=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠5
∠5=∠2，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB．

点评 本题考查了三角形的外心与内心、圆周角定理、弧长公式、三角形的外角性质、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键．