Question

如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，过点B作BH⊥AD于H，BC=BH=2，动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作EF⊥AD交折线D→C→B于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C₁、D₁，设运动时间是x秒（x＞0）．
（1）当点E和点C重合时，运动时间x的值为

4

秒；
（2）当△BCD₁是等腰三角形时，此刻x为

2，2.5或3

秒．

Answer 1

分析：（1）过C作GC∥AB交AD于G，通过勾股定理就可以求出AH=1，AB=

5

，再得出四边形ABCG是平行四边求出DH，过C作CM⊥AD交AD于M，求出DM的值即可；
（2）分三种情况讨论，如图1，当BC=CD₁=2时可以求出x的值，如图2，当BD₁=CD₁时，作D₁G⊥BC于G，可以求出x的值，如图3，当BC=BD₁时，可以求出x的值，从而综合得出结论．

解答：解：（1）过C作GC∥AB交AD于G，
∴∠CGD=∠A，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠CGD+∠D=90°，
∴∠DCG=90°．
在Rt△AHB中，tanA=2，BH=2，
∴AH=1，AB=

5

，
∵BC∥AD，CG∥AB，
∴四边形ABCG是平行四边形，
∴AG=BC=2，CG=AB=

5

，
∴CD=2

5

，GD=5，
∴DH=6．
过C作CM⊥AD交AD于M，
∴DM=4，当点E和点C重合时x=4．
故答案是：4；

（2）如图1，当BC=CD₁=2时，DD₁=4，
∴DF=2，
∴x=2；
如图2，当BD₁=CD₁时，作D₁G⊥BC于G，
∴CG=

1

2

BC=1，
∴D₁D=5，
∴DF=2.5，
∴x=2.5；
如图3，当BC=BD₁时，DD₁=6，
∴DF=3，
∴x=3；
∴x=2，2.5，3时，△BCD₁是等腰三角形．
故答案是：2，2.5或3．

点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用．解答（2）题时，要分类讨论，以防漏解．