Question

1．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据直线y=x+3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值，根据抛物线的解析式可求出C的坐标；
（2）分别从AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．

解答 解：（1）由经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．可知A（-3，0），B（0，3），
∵抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=-2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点C（-1，4）；
（2）存在；
理由：∵A（-3，0），B（0，3），
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵Q在直线x=-1上，
∴设Q（-1，n），
∵点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形，
①当AQ=AB=3$\sqrt{2}$，
∴2²+n²=（3$\sqrt{2}$）²，
∴n=$\sqrt{14}$，或n=-$\sqrt{14}$，
②当BQ=AB=3$\sqrt{2}$，
∴1²+（3-n）²=（3$\sqrt{2}$）²
∴n=3+$\sqrt{17}$，或n=3-$\sqrt{17}$，
∴Q（-1，$\sqrt{14}$）；（-1，-$\sqrt{14}$）；（-1，3+$\sqrt{17}$）或（-1，3-$\sqrt{17}$）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用是解此题的关键，还要注意别漏．