Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-x²+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴子点C，交抛物线于点E．
（1）∠BAO=

 

°，b=

 

；
（2）当DE=3时，求点C坐标；
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出b的值；
（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，7+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值；
（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．

解答：解：（1）∵直线AB的解析式为y=x+4，
∴令x=0，得y=4；
令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，4）．
∴OA=OB=4，
∴tan∠BAO=

BO

AO

=1，
∴∠BAO=45°．
又∵点A（-4，0），B（0，4）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴

-16-4b+c=0   c=4

，
解得：

b=-3 c=4

．
故答案是：45，-3；

（2）由（1）易知，该抛物线的解析式为y=-x²-3x+4．
设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，AC=4+m．
∵OA=OB=4，
∴∠BAC=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴CD=AC=4+m，
∴CE=CD+DE=4+m+3=7+m，
∴点E坐标为（m，7+m）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴7+m=-m²-3m+4，
解得m=-3或-1，
所以，点C的坐标（-3，0）或（-1，0）；

（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，CD=AC=4+m，BD=

2

OC=-

2

m，则D（m，4+m）．
∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必为等腰直角三角形．
i）若∠BED=90°，则BE=DE，
∵BE=OC=-m，
∴DE=BE=-m，
∴CE=4+m-m=4，
∴E（m，4）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴4=-m²-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-3，
∴D（-3，1）；
ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=-

2

m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=

2

BD=-2m，
∴CE=4+m-2m=4-m，
∴E（m，4-m）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴4-m=-m²-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-2，
∴D（-2，2）．
综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（-3，1）或（-2，2）．

点评：考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．