Question

如图，反比例函数y=

k

x

在第一象限内的图象经过菱形OABC的顶点A和C．若菱形OABC的面积为10，∠AOC=30°，则k的值为

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：过点A作AD⊥x轴于D，根据菱形的四条边都相等可得OA=OC，再根据反比例函数图象的对称性可得OA、OC关于直线y=x对称，然后求出∠AOD=30°，再根据菱形的面积求出边长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=

1

2

OA，利用勾股定理列式求出OD，最后写出点A的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式解答．

解答：解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=OC，
∵双曲线的对称轴为直线y=x，
∴OA、OC关于y=x对称，
∵∠AOC=30°，
∴∠AOD=

1

2

（90°-30°）=30°，
设菱形的边长为x，
则菱形的面积=x•

1

2

x=10，
解得x=2

5

，
∴OA=2

5

，
AD=

1

2

OA=

1

2

×2

5

=

5

，
由勾股定理得，OD=

OA2-AD2

=

(2 5 )2-( 5 )2

=

15

，
∴点A的坐标为（

5

，

15

），
代入y=

k

x

得，

k

5

=

15

，
解得k=5

3

．
故答案为：5

3

．

点评：本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握双曲线的轴对称性判断出OA、OC关于直线y=x对称是解题的关键，也是本题的难点．