题目内容
15．
如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（-2，0）、（0，4）．动点P从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C以每秒2个单位的速度在y轴上从点B出发运动到点O停止，点C停止运动时点P也随之停止运动．以CP、CO为邻边构造?PCOD，在线段OP的延长线长取点E，使得PE=2．设点P的运动时间为t秒．（1）求证：四边形ADEC是平行四边形；
（2）以线段PE为对角线作正方形MPNE，点M、N分别在第一、四象限．
①当点M、N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M、N中恰好只有一点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，设?PCOD的面积为S，直接写出S的取值范围．
分析 （1）连接CD交OP于点G，由?PCOD的对角线互相平分，得四边形ADEC是平行四边形；
（2）①第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO，再利用正方形对角线相等求解；第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD，再利用正方形对角线相等求解；
②当$\frac{2}{3}$≤t≤1时，求出S的取值范围．
解答 
（1）证明：如图1，连接CD交AE于F，
∵四边形PCOD是平行四边形，
∴CF=DP，OF=PF，
∵PE=AO，
∴AF=EF，又CF=DF，
∴四边形ADEC为平行四边形；
（2）解：①当M点在CE上时，第一种情况：如图，当点M在CE边上时，
∵MF∥OC，
∴△EMF∽△ECO，
∴$\frac{MF}{CO}$=$\frac{EF}{OE}$，
∵四边形MPNE为正方形，
∴MF=EF，
∴CO=EO，即4-2t=t+2，
∴t=$\frac{2}{3}$；
第二种情况：当点N在DE边时，
∵NF∥PD，
∴△EFN∽△EPD，
∴$\frac{FN}{PD}=\frac{FE}{PE}$，
∵四边形MPNE为正方形，
∴NF=EF，
∴PD=PE，即4-2t=2，
∴t=1；
∴当点M、N中有一点落在四边形ADEC的边上时，所有满足条件的t的值为t=$\frac{2}{3}$或t=1；
②解：∵$\frac{2}{3}$≤t≤1，
S=（4-2t）t=-2t2+4t=-2（t-1）2+2，
∴点M、N中恰好只有一点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，$\frac{16}{9}$≤S＜2．
点评 本题考查的是平行四边形的性质和判定、勾股定理的应用，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键，注意坐标与图形的关系的应用．
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