Question

20．已知：四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E是BC的延长线上一点，F是CD的延长线上一点，∠BAD=2∠EAF，连结EF．求证：EF=BE-DF．

Answer 1

分析 在CB上截取BM=DF，连接AM，证△ABM≌△ADF，推出AF=AM，∠DAF=∠BAM，求出∠EAM=∠EAF，证△FAE≌△MAE，推出EF=EM即可．

解答 解：在CB上截取BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠ABC=∠ADF，
在△ABM和△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF}\\{BM=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF=2（∠EAD+∠DAF）=2（∠EAD+∠BAM）=∠EAF+（∠EAD+∠BAM），
又∵∠BAD=（∠BAM+∠EAD）+∠MAE，
∴∠MAE=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠FAE=∠MAE}\\{AF=AM}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE-BM=BE-DF，
即EF=BE-DF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，掌握全等三角形的判定方法．