Question

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ABC平分线交边AC于点E，交CD于F，过点F作FG∥AB，交边BC于点G，连结ED，GD．求证：$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BG}{BD}$．

Answer 1

分析 根据FG∥AB，得到△CFG∽△CDB，推出$\frac{CF}{CD}=\frac{FG}{BD}$，由平行线的性质得到∠BFG=∠FBD，由角平分线的定义得到∠FBG=∠FBD，于是得到△GFB是等腰三角形，FG=BG，由已知条件得到∠CFG=90°，求得∠CFE=180°-∠CFG-∠BFG=90°-∠FBG，证得∠CEB=∠CFE，得到CE=CF，等量代换即可得到结论．

解答 证明：∵FG∥AB，
∴△CFG∽△CDB，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{FG}{BD}$，
∵FG∥AB，
∴∠BFG=∠FBD，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠FBG=∠FBD，
∴∠FBG=∠BFG，
∴△GFB是等腰三角形，FG=BG，
∵AB⊥CD，FG∥AB，
∴∠CFG=90°，
∴∠CFE=180°-∠CFG-∠BFG=90°-∠FBG，
在△ABE中，∠BCE=90°，
∴∠CEB=180°-∠BCE-∠EBC=90°-∠EBC，
∴∠CEB=∠CFE，
∴CE=CF，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BG}{BD}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．